进度风险评估中的PERT方法及其修正__期刊目录网,论文发表,发表论文
所属栏目：推荐论文 发布时间：2011-02-25浏览量:122
副标题#e# 摘 要: 本文阐述了PERT方法在工程项目进度管理中的应用，运用数学方法估算工程项目的工期。考虑到工程项目建设的模糊性和随机性,本文将模糊集理论引入到PERT中，提出一种用于工程项目风险评估的模糊概率分析方法。算例计算说明,该方法比PERT技术提供的有关工程项目按期完工的风险评估结果更加可靠,且易于计算。
关键词：网络计划；风险评估；模糊集理论
1.经典PERT方法在进度风险评价中的应用
长期以来,在施工中广泛应用网络计划技术来安排计划、实施管理。实践证明,采用网络计划技术在缩短工程工期,提高工效,降低成本等方面都有显著的成效。但由于工程项目的进度受到天气、材料、资金和环境等多种因素的影响，在制订项目进度计划时,人们越来越深刻地认识到要考虑计划中的不确定因素。在项目的实际实施过程中，有很多不确定的情况发生,对各项任务的工期估计不准确,再加上任务之间的紧前紧后关系，一旦某个任务工期发生变动，其他的相关联的任务也要作相应的调整,这样就使得项目总工期变的不可确定。考虑到工序时间和工期的不确定性，人们尝试应用PERT技术方法来制订和评价项目进度计划。
1.1.1经典PERT方法的基本假设
用经典pert方法评价工程项目进度计划实质上包含着以下假设：
（1）各项活动的持续时间是一随机变量，不能给出准确的数值，但可以用“三点法”进行估算。
（2）各项活动随即独立，活动持续时间服从β分布或近似正态分布。
（3）在网络计划图中，线路持续时间服从正态分布。
（4）在网络计划图的众多线路中，有一条线路占主导地位。
1.1.2 网络时间参数计算和关键路线
设A为网络的工序集合，N为事项集合，N=(1，2，…，n)。类似于传统PERT技术的概率分析，首先根据网络工序(i,j)，(i,j)∈A的三种估计时间:最乐观时间aij、最可能时间mij和最悲观时间bi j，计算工序(i,j)的 期望时间tij
tij=（aij+4mij+bi j）/6 (i,j)∈A
同时,为了衡量工序时间的不确定性, 计算各工序时间的标准离差δij
δij=(bi j-aij)/6 (i,j)∈A
由于时间估计是不确定的,因此网络计划的其他时间参数也同样具有不确定性。与网络计划的概率分析方法相同，事项ｊ，ｊ∈Ｎ的最早时间可能开始时间E(i)及方差
δ2(E(i))为
E(1)=0
δ2(E(1))=0
E(j)=max{ E(i) + tij ∣i∈IP(j)}
δ2(E(j))= δ2(E(i) +δ2ij , i∈IP(j)}
式中，#p#副标题#e#IP(j)}表示事项j的紧前事项集合。
事项i，i ∈N的最迟开始时间L(i)和其方差δ2(L(i))为
L(n)=E(n)
δ2(L(n))=0
L(i)=min{ L(j)- tij∣j∈IS(i)}
δ2(L(i))= δ2(L(j)) +δ2ij , j∈IS(i)
式中，S(i)表示事项i的紧后事项集合。
由事项最早开始和最迟开始可得，个事项的时差
S(i)=L(i)-E(i)
进一步有事项时差，可以判别出关键路线。
1.1.3 工程项目的完工概率和工期风险
设工程项目的规定工期是Ts ，在网络计划图线路持续时间正态分布的假设下，用下式可计算规定工期下的工程项目的完工概率。
式中： 是以Te为均值，δn为标准差的概率密度函数。其中，Te即为关键路线上的E(Tn)，δn为关键路线上的标准差。
令 ， 则完工概率
1.1.4 算例
某工程的局部网络图如图所示。各工序时间参数见表1
图1 简单工程网络图
试求其在规定时间分别为11天和8天时，计算其完工概率。
先计算各个工序的期望时间和方差，其结果见表格1
表格1 工序时间参数表
工序 ai mi bi tij δij
（1，2） 1 2 3 2 0.33
（1，3） 3 4 8 4.5 0.83
（2，3） 1 3 5 3 0.67
（2，4） 5 7 9 7 0.67
（3，4） 2 4 6 4 0.67
然后确定事项的最早开始时间和和最迟开始时间
E(1)=0
E(2)= E(1) + =2#p#副标题#e#
该网络的关键路线为1—2—3—4, 该工程的期望完成时间为9天，工期计划的工期标准离差为δ=1.003。
根据所得数值计算完工时间和完工概率。首先，按时间11天完工概率P，根据前述公式计算得P=97％；按时间8天完工概率P,根据前述公式计算得P=83％.
2.PERT方法的修正
2.1 PERT方法的的缺陷
实质上，PERT技术仅仅考虑了由于三种估计时间的不确定性所产生的完成一工序的实际时间的随机性。对于某工序不确定性时间估计问题,在具有该工序或同类工序时间消耗的统计资料时,作出上述假设才是合理的,但在设有可供参考的统计资料情况下,或施工环境变化较大,阻碍人们利用先前的统计资料时,再作出工序时间为服从某一概率分布的随机变量的假设,就缺乏理论依据了。因此,有关PERT假设条件方面的研究,人们一直在进行探讨。
在PERT技术中,为了简化求解工程完工期的期望值与方差,PERT进一步假设:(1)工序时间是相互独立的随机变量;(2)网络中只有一条路线占支配地位,其它路线成为关键路线的概率可以忽略不计。在这种情况下,工程完工期就是关键路线上工序的随机时间值之和,工程期望完工期和方差值就对应关键工序时间期望值和方差值之和。因此,在关键路线上工序数目较多时,根据中心极限定律,此时可近似认为工程工期服从正态分布。有关研究表明，,即使单个路线服从正态分布,而工程工期服从正态分布的条件是网络中只有一条路线占支配地位的假设必须成立。而在实际运用中,往往要同时考虑几条关键路线,因而PERT技术在计算结果方面往往是近似的。研究表明,根据以上假设得到的工程期望完工期几乎总是小于实际统计平均值的,误差可达30%。
基于以上分析可知,PERT技术在确定工程完工期方面并不健全。因此在运用PERT技术进行工程项目按期完工概率分析时,往往提供项目按期完工的概率值偏大。为了更全面、更科学、更合理地运用PERT技术制定工程计划以及为施工单位提供承担施工工程项目所具有的风险提供科学的决策依据,将模糊集理论应用到PERT中，对其进行修正。
2.2 将模糊集理论应用到PERT方法中
2.2.1 有关的模糊集理论一些基本概念
（1）论域X上的的模糊集A是
A={（μA(x)，x）∣x∈X}
μA(x)∈[0，1]，成为x对于A的隶属度；μA成为模糊集A的隶属函数。
（2）设样本空间为Ω所谓模糊事件就是样本空间Ω中的一个模糊子集A。
（3）如果样本空间Ω是有限集，即Ω={w1，w2，…，wn}，设基本事件wi，i=1,2,…,n，的概率p(wi)=Pi ,A是一模糊事件，其隶属度函数为μA(wi) ，模糊事件A的概率定义为
（4）刻画论域X上的一个模糊集A的模糊程度的量，称为模糊度，记为d(A)。它应满足下列条件：
时，亦即当且仅当A的模糊度为0时，即不模糊时，A才为普通集合；
时， 即对于任意x∈X，当且仅当μA(x)=0.5时，模糊集A最模糊；
设A,B是论域X上的两个模糊集，如果对于任意x∈X，有μA&nbs#p#副标题#e#p;≧ μB ≧ 0.5 ，或μA ≦ μB ≦0.5，则 。
上文中,我们曾指出:用PERT技术进行工程项目计划时,考虑到工序时间的不确定性,要求计划的制定者,根据实际经验,对网络计划中的每一工序估计出最乐观时间、最可能时间和最悲观时间,并假设工序时间为服从β分布的随机变量。实际上,PERT技术仅考虑了由于三种估计时间的不确定性所产生的完成一工序的实际时间的随机性,而忽略了在三种仨估计时间的假定下完成该项工序的“可能性”这一模糊现象。
在制订和实施PERT网络计划时,由于人力、物力、财力和资源等因素的不断变化,往往会给工序的完成带来一些难以预料的困难和问题。因此“工序实际可能完成时间”具有很大的随机性,同时制定PERT网络计划的决策者,对网络计划中每一项工序的最可能时间估计,一般是在利弊条件各占一米的情况下进行考虑的,是最难估计准确的,此时估计的模糊度最大;对于最乐观时间的估计,是在有利条件或者在一切条件顺利的情况下进行的,因此估计的模糊度较小,对于最悲观时间的估计,是在困难条件多于有利条件或者在一切不利条件的情况下进行的,因此估计的模糊度亦较小。因此可以看出,在三种估计时间的假定下,“工序实际可能完成时间”还伴随着一定程度的模糊性。对于取决于“工序实际可能完成时间”的“工程项目实际可能完工期”,无疑具有随机性和模糊性。因此我们将在PERT技术中引进模糊性,提出本文的工程项目进度风险评估的模糊概率分析方法。
2.2.2 修正后的pert方法
根据PERT技术,可以得到网络关键路线。假设由PERT技术确定的关键路线上有L个关键工序。 此时，可采用这L个关键工序的三种估计时间之和作为工程项目实际完工的最乐观时间A，最可能时间M和最悲观时间B，即
实际上，有上式确定的A、M和B为工程项目实际完工时间这一随机过程的基本事件，设Ω为工程项目的实际完工时间的样本空间，则可表示为
Ω={A，M，B}
若设T表示工程项目按规定时间T完工的实际可能时间，那么，T为Ω上的一模糊事件，则T可表示为
式中， 分别表示工程项目实际完工时间的最乐观时间、最可能时间和最悲观时间隶属于工程项目实际完工的最可能时间的隶属度。
由于各工序的最可能时间mi估计的模糊度最大，即其值为1，因此在规定时间T内取决于各工序最可能时间的工程项目实际完工的最可能时间M的模糊度亦是最大。有模糊度的知识知道，此时 ，即工程项目实际完工的最可能时间M对模糊集T=“工程项目按规定时间T完工的实际可能时间”的隶属度为0.5。对于工程项目实际完工的最乐观时间A和最悲观时间B,由于各工序的最乐观时间和最悲观时间估计的模糊度较小,因此,对取决于各工序最乐观时间和最悲观时间的A和B,其估计的#p#副标题#e#模糊度亦较小。由于它们分别是在有利条件多于不利条件和不利条件多于有利条件情况下的两种估计,因此,可认为 。
为了得到工程项目按规定时间T完工的实际可能时间的概率,下面利用PERT技术求解工程项目在A、M和B三种时间F按规定时间T完工的概率p(A)、p(M)和p(B)。
设工程项目的规定工期为T,可得
式中，δ表示关键路线上的工期期望完工期的标准离差，即
利用正态分布表可得A，B和M的概率为
由模糊事件的概率知识可得如下的模糊事件T=“工程项目按规定时间T完工的实际可能时间”的概率计算式
下面结合一算例，具体说明该方法。
2.2.3 实例计算
考虑图1所示中的工程网络，各工序时间参数见表1。
由PERT技术，容易算得该工程计划的期望完成时间为9天，工程计划的工期标准离差为σ=1.003,该网络的关键路线为1-2-3-4。该网络的实际期望完工时间为11天(参见文献[2])。若假定工程计划的工期近似服从正态分布,那么,工程计划在11天完工的概率可以认为是50%。而用PERT技术分析工程计划在11天完工的概率将为97%。这说明PERT技术提供的完成工程计划的可靠程度与实际情况相差较大。
运用本文提出的工程项目风险评估的模糊概率分析方法分析图1所示工程项目在11天完工的模糊概率。容易算得
P(A)=1 , p(M)=0.965, p(B)=0
进而
=0.25×1+0.5×0.965+0.25×0
=0.73
由计算结果可以看出,运用本文的模糊概率分析方法求得在11天完工的实际可能时间的概率为73%,比PERT技术求得的97%更接近地实际情况的概率0.5。若规定工期为8天,则由PERT技术可得按期完工的概率为83%。而由本文的模糊概率分析方法求得的概率为45%。此时实际完工概率可以近似认为是在正态分布的期望值为11,方差为1.003时的概率0.5%。因此,本文所提的工程项目风险评估的模糊概率分析方法,比目前广泛应用的PERT技术更能反映工程的实际情况,尤其是在为施工单位提供承担施工工程项目所具有风险决策方面可以提供更加可靠的分析数据。
参考文献：
[1] 陈水利，李敬功，王向公. 模糊集理论及其应用[M]. 北京：科#p#副标题#e#学出版社，2005.
[2] 曹光明. 国外PERT/CPM网络计划技术发展的三个方面[J]. 系统工程理论与实践，1993，3.
[3] 邓亚平. 基于PERT的进度控制研究[J]. 基建优化，2007，8.
[4] 李林,王道平. 基于风险分析的项目工期的估算方法研究[J]. 系统工程，2001，9.
